Elementos básicos em Matemática Financeira
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.
Simples: somente o principal rende juros.
Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao Capital, proporcionando juros sobre juros.
Notações comuns
C - Capital
t - tempo
J - juros simples decorridos t períodos
i - taxa percentual de juros (i % ou i / 100)
M - Montante de capitalização
Compatibilidade dos dados
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades.
Exemplo: Na fórmula J = C i t
a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo t, ou seja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então t deverá ser um número indicado em meses.
Juros simples
Se t é o tempo, i é a taxa unitária ao período e C é o capital, então os juros simples são calculados por: J = C i t
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: J = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00
Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos i% por i/100 e obtemos a fórmula: J = C i t / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao ano são dados por: J = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00
Se a taxa é i % ao mês, usamos t como o número de meses e a fórmula: J = C i t / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2% ao mês são dados por: J = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00
Se a taxa é i % ao dia, usamos t como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula: J = C i t / 100
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital C=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de 0,02% ao dia são dados por: J = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital C=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:
j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50
Montante simples
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em língua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dado por uma das fórmulas: M = C + J = C (1 + it)
Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Objetivo: M=2C
Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M = C(1+it)
Desenvolvimento: Como 2C = C(1+1,5 t), então 2=1+1,5 t, logo
t = 2/3 ano = 8 meses
Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o capital é C = R$ 1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:
Período: de 10/01 até 31/01
Número de dias: 21 dias
Período: de 01/02 até 28/02
Número de dias: 28 dias
Período: de 01/03 até 31/03
Número de dias: 31 dias
Período: de 01/04 até 12/04
Número de dias: 12 dias
Total: 92 dias
Fórmula para o cálculo dos juros exatos: J = C i (t / 365) / 100
Cálculo: J = (1000×100×92/365)/100 = 252,05
Fluxo de caixa
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rende juros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de R$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
Considerando que uma pessoa empresta a outra a quantia de R$ 2.000,00, a juros simples, pelo prazo de 3 meses, à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?
Antes de iniciarmos a resolução deste problema, devemos descobrir, o que é o que, ou seja, quais dados fazem parte das contas.
Capital Aplicado (C) : R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) : R$ 3 mesesTaxa (i): 3% ou 0,03 ao mês (a.m.)
Fazendo o cálculo, teremos: J = c . i. t → J = 2.000 x 3 x 0,03 → R$ 180,00
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 180,00 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, o valor dos juros será de R$ 60,00 por mês e esse valor será somado mês a mês, nunca mudará.
Juros compostos
A fórmula dos Juros Compostos é: M = C. (1 + i)
Onde: M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros, t = tempo.
Considerando o mesmo problema anterior, da pessoa que emprestou R$ 2.000,00 a uma taxa de 3% (0,03) durante 3 meses, em juros simples, teremos:
Capital Aplicado (C) = R$ 2.000,00Tempo de Aplicação (t) = 3 mesesTaxa de Aplicação (i) = 0,03 (3% ao mês)
Fazendo os cálculos, teremos: M = 2.000 . ( 1 + 0,03)³ → M = 2.000 . (1,03)³ → M = R$ 2.185,45
Ao final do empréstimo, a pessoa pagará R$ 185,45 de juros.Observe, que se fizermos a conta mês a mês, no primeiro mês ela pagará R$ 60,00, no segundo mês ela pagará R$ 61,80 e no terceiro mês ela pagará R$ 63,65.
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